La genialitat del cub de Rubik

El cub de Rubik és una icona d’intel·ligència. Coneixerem algunes persones capaces de resoldre’l a cegues, amb una sola mà, o en menys de 10 segons. És també una eina per aprendre matemàtiques. Amb ell entendrem combinatòria i geometria.
Hi intervenen Berta García, Pedro Luis Muñoz, Sergi Sàbat, Núria Pérez i David Ruscalleda, aficionats als cubs, Natàlia Medialdea, professora de matemàtiques a l’escola Túrbula, i els matemàtics Claudi Alsina del Dept. d’Estructures a l’Arquitectura (UPC) i Enric Ventura del Dept. de Matemàtiques (EPSEM – UPC).

El matemàtic Enric Ventura del Departament de Matemàtiques (EPSEM – UPC) explica al reporter de Quèquicom Pere Renom la propietat matemàtica anomenada conjugació, i com es utilitzada per resoldre el cub de Rubik.

Repte del cub
La Berta només té 14 anys. Al maig del 2016 es va proclamar campiona d’Espanya absoluta amb la resolució de 15 cubs a cegues en 56’, la segona millor marca mundial d’aquesta modalitat. I al juliol del mateix any va guanyar el campionat d’Europa absolut de velocitat a cegues, amb una marca de 30 segons i 40 centèsimes. A més, sense tapar-se els ulls és capaç de fer el cub en 14” i la piràmide en 7”. El seu repte és ser la primera dona del món a resoldre el cub a cegues en menys de 30”. A banda de les competicions, la Berta fa tallers de tant en tant a les escoles per introduir-los al món del Rubik i transmetre’ls la seva motivació.

Història del cub
De fet, l’any 1974 el cub ja es va inventar amb una finalitat didàctica. Es tractava d’un un objecte de fusta. El seu creador, el professor de l’Acadèmia d’Arts Aplicades i Disseny de Budapest Ernö Rubik, volia usar-lo per explicar enginyeria estructural als alumnes. La sorpresa va venir quan, després de desordenar-lo, va intentar tornar a ordenar-lo. Sense voler havia inventat un difícil trencaclosques! El cub es va comercialitzar el 1977 a Hongria i el 1980 a la resta del món. Com diu el seu creador: “a la pràctica té moltes cares, no només sis, i ha estat un objecte inspirador arreu del món”. Una de les primeres inspiracions va ser desmuntar-lo. L’ocurrència la va tenir Patrick Bossert, un noi britànic de 12 anys. En veure el mecanisme intern va ser capaç de resoldre’l i va publicar la solució al llibre “Tu pots fer el cub”, que es va convertir en un best-seller.

Mecanisme del cub
El cor del cub són tres eixos fixes en les tres dimensions que mantenen els quadradets centrals de cada cara. Aquests quadradets són fixes, estan collats, no poden canviar de cara, només girar. I aquestes són les úniques peces fixades sòlidament als eixos del cub. Totes les altres són peces independents que es suporten unes a les altres. Són de dos tipus: els vèrtex, els extrems, que tenen 3 colors i les arestes, que tenen dos colors. Una aresta té dos llavis per agafar-se a les peces centrals, queda suportada però quan convingui podrà lliscar en dues direccions. Les peces vèrtex es recolzen en les arestes que al seu torn es subjecten sobre els quadradets centrals. Cada un dels quadradets de color semblaria, a primera vista, que és la cara d’un petit cub, però en realitat no és un cub, té un perfil interior corbat que és un sector d’esfera. Si poguéssim veure el cub des de dins apreciaríem que les peces interior conformen una esfera. I això permet el gir de les peces.

Combinatòria del cub
El cub de Rubik és una de les joguines més venuda de la història. Des del seu llançament als anys 80, una allau de més de 350 milions d’unitats han arribat a les llars d’arreu del món. S’estima que una de cada 10 persones hi ha jugat alguna vegada. I encara remena números més astronòmics. Hi ha 43 trilions 252.003 bilions 274.489 milions 856.000 permutacions possibles. Per fer-nos una idea de la descomunal mida d’aquest número, si féssim un moviment cada segon tardaríem més temps que l’edat de l’Univers en fer-los tots. Si poséssim cadascuna de les combinacions una darrere l’altra arribaríem a 261 anys llum de distància, a una constel·lació batejada amb el nom de Columba. I si poséssim tots els cubs entapissant el terra cobriríem 273 superfícies terrestres. I d’on surt aquest número tan gran? Enric Ventura, professor de matemàtiques de la UPC i vicepresident la Societat Catalana de Matemàtiques, explica com es calcula.

Geometria del cub
Hi ha cinc cossos que destaquen per la seva perfecta geometria: el piramidal o tetraedre, amb 4 cares triangulars, el cub o hexaedre, amb 6 cares quadrades, l’octaedre, amb 8 cares triangulars, el dodecaedre, amb 12 cares pentagonals, i l’icosaedre, amb 20 cares triangulars. Claudi Alsina, catedràtic de matemàtiques a la UPC, i autor de nombrosos assajos de divulgació, com “Geometría cotidiana” o “Las mil caras de la belleza geométrica”. Explica que: “és tal la seva simetria, la seva perfecció, que totes les cares tenen la mateixa probabilitat de sortir i per tant són perfectes per sortejar”. El dau és un element de joc usat des de l’antiguitat. El cub és el més universal i simbolitza l’atzar. Per contra, un cub de Rubik és virtualment impossible de resoldre per atzar.

Els poliedres regulars
Desprès de l’èxit comercial del cub de Rubik han sortit tota mena de formes explotant la idea. N’hi ha que són un tetraedres, dodecaedres i fins i tot de vint cares, un icosàedre. La immensa majoria són poliedres regulars. Quins volums es poden crear a partir de polígons regulars? Comencem per ordre: pels triangles equilàters. Si unim dos triangles per un vèrtex, no té sentit, no faríem un cos, no tindria volum. Unim ara tres triangles pel vèrtex. Ara si que genera una cavitat, i si continuem unint triangles pel vèrtex de tres en tres acabarem fent un tetraedre. Quan els unim de quatre en quatre, també surt una figura regular de vuit cares, vuit cares… l’octaedre. Provem ara d’unir de cinc en cinc. Cinc a cada vèrtex i també surt un cos regular, d’icosàedre, de vint cares. Anem provant, ara de sis en sis. En resulta un pla, no hi possibilitat de fer cap cos geomètric unint sis triangles equilàters a cada vèrtex. Anem per la següent figura, el quadrat. Dos quadrats no te sentit, amb tres farem un cub i amb quatre ja no podem fer res, dona un pla. Amb pentàgons? Tres pentàgons per vèrtex dona un dodecaedre, dotze cares. Portem cinc cossos regulars. Veiem que unint tres pentàgons no tenim possibilitats ja que fan més de 360º. Anem a explorar les possibilitats de l’hexàgon. Tres hexàgons fan un pla. Doncs sembla que ja no tenim més possibilitats. Ja veiem que només pot haver cinc poliedres regulars.

Resolució del cub
Pedro Luis Muñoz brega amb els Rubiks de fa més de trenta anys. S’atreveix fins i tot amb models irregulars, com el mixup. Amb els anys ha aplegat més de 500 models diferents. Té, per exemple, cubs de 7×7, 8×8, 9×9 i 11×11, té formes geomètriques de tot tipus, formes asimètriques, cubs que incorporen altres jocs com el pòquer o el lego, i formes arrodonides, algunes basades en esbojarrats personatges televisius, o en elements més racionals. Amb pocs moviments ben combinats, en Pedro és capaç de resoldre la majoria de trencaclosques de la seva col·lecció. Matemàticament aquesta propietat s’anomena conjugació.
Assistim també a la trobada d’un grups de nois i noies del Club de Rubik Catalunya, per compartir experiències i passar una bona estona. Per començar, col·loquen damunt la taula tota l’artilleria. El Rubik és bàsicament un joc, i els cubaires, els aficionats als cubs, s’ho passen bé jugant. Fan rodes, que consisteixen a resoldre els cubs col·lectivament. Resolen cubs seccionats segons altres eixos, I no perden l’oportunitat per practicar la velocitat, molta velocitat. Una altra modalitat de competició és el “fewest”, és a dir, resoldre el cub amb el menor nombre de moviments possible. Els matemàtics han calculat a nivell teòric que el cub es pot resoldre amb 20 moviments, i aquest número l’han anomenat número de Déu. Hi ha diversos mètodes per resoldre el cub de Rubik. El Fridrich és el més utilitzat en competicions de velocitat, el Roux utilitza menys moviments i estadísticament és un dels millors, la combinació Old Pochmann -OP- i commutadors és adient en les resolucions a cegues, el Principiants és el més fàcil i el més lent, tot i que amb pràctica es pot baixar d’1 minut, el Heise es resol intuïtivament sense algoritmes, requereix molt pocs moviments, però no és gaire ràpid, i el Petrus és intuïtiu, eficient i ràpid; amb ell s’han guanyat tant competicions de velocitat com de mínim nombre de moviments.

L’hipercub de Rubik
Però tots aquests mètodes queden curts davant d’una nova geometria. Un quadrat és una figura geomètrica formada per quatre costats, i es troba en el pla, en dues dimensions. Si volem passar a la tercera dimensió el que farem serà ajuntar sis quadrats i doblegar-los per obtenir un cub. La progressió és quatre, sis, vuit. Per tant ajuntant vuit cubs podrem obtenir un hipercub. Segons com es miri té l’aspecte d’un cub dins d’un cub, o d’un cub que emergeix de l’interior d’un altre. I malgrat la dificultat de representació hi ha qui ha estat capaç d’anar més enllà i desenvolupar una aplicació del Rubik. És l’hipercub de Rubik 3x3x3x3.
La Berta ha triat resoldre el cub de Rubik a cegues. En l’hipercub no hi ha alternativa, necessàriament s’ha de resoldre sense veure’l del tot. Per comprendre el món del Rubik no es pot ser capquadrat.